本试卷总分100分,考试时间150分钟,有详细解析。
一、单项选择题(每小题2分,共10分)
1.设函数y=f (x)的定义域为(1,2),则f (ax)(a<0)的定义域是( )
A.
B.
C.
D.
2.设f(x)=x|x|,则f′(0)=( )
A.1
B.-1
C.0
D.不存在
4.设f (x)是连续函数,且,则f (x)=( )
A.cos x-xsin x
B.cos x+xsin x
C.sin x-xcos x
D.sin x+xcos x
5.设某商品的需求量D对价格p的需求函数为D=50-,则需求价格弹性函数为( )
A.
B.
C.
D.
3.下列极限中不能应用洛必达法则的是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题(每小题3分,共30分)
1.设f (x)=,则f (f (x))=_______.
5.设函数y=x+kln x在[1,e]上满足罗尔定理的条件,则k=_______.
7.曲线y=xln x-x在x=e处的切线方程为_______.
2.=_______.
8._______.
9.微分方程xy′-yln y=0的通解是_______.
4.设f ′(0)=1,则_______.
6.曲线y=ln的竖直渐近线为_______.
10.设z=(x+y)e^(xy),则=_______.
3._______.
三、计算题(一)(每小题5分,共25分)
1.求极限
4.设z=x+y+,求.
2.设y=,求y′.
3.求不定积分
5.设F(u,v)可微,且,z(x,y)是由方程F(ax+bz,ay-bz)=0(b≠0)所确定的隐函数,求
四、计算题(二)(每小题7分,共21分)
1.设y=ln(1+x+ 求y′.
2.计算定积分
3.计算二重积分I=,其中D是由x=0,y=1及y=x所围成的区域.
五、应用题(本题9分)
1.求由抛物线y=x^2和y=2-x^2所围成图形的面积,并求此图形绕x轴旋转一周所成立体的体积.
六、证明题(本题5分)
1.设f (x)在[0,1]上连续,且当x[0,1]时,恒有f (x)<1.证明方程2x-在 (0,1)内至少存在一个根.