2023年河北专升本高等代数考试大纲

Ⅰ 课程简介

一、内容概述与总要求

参加考试的考生应理解或了解《高等代数》 中多项式、行列式、线性方程组、矩阵、二次型、线性空 间、线性变换和欧氏空间的基本概念、定理、性质和方法，能运用本门课程的基础知识和基本方法进行判 断、分析、计算和证明；应具有较好的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力；具备一定的分析、解决 问题的能力。考试从三个层次上对考生进行测试，较高层次的要求为“理解”和“掌握” ，较低层级的要 求为“了解” 。这里“理解”和“了解”两词分别是对概念、理论的高层次与低层次要求。“掌握”是对 方法、运算的高层次要求。本说明下列用语的含义： 了解是指清楚地知道，理解是指懂得涵义、特征以及 与相关理论的关系，运用是指用以解决基本问题，掌握是指理解并能运用。

二、考试形式与试卷结构

考试形式：采用闭卷、笔试形式，全卷满分为 300 分，考试时间为 150 分钟。

试卷结构：试卷包括选择题、填空题、判断题、计算题、证明题和应用题。选择题是四选一型的单项 选择题；填空题只要求直接填写结果，不必写出计算过程或推证过程；计算题、证明题均应写出文字说明、 演算步骤或推证过程。

试卷中《数学分析》、《高等代数》与《解析几何》试题的分值比例约为 150:110:40

Ⅱ 知识要点与考核要求

一、多项式

1.知识要点

数域 P 上一元多项式的概念、基本运算和运算律；多项式整除的概念和性质，带余除法；最大公因式 的概念和性质，辗转相除法；多项式互素的概念和性质；不可约多项式的概念和性质；多项式根的概念和 性质；复数域上多项式不可约的充要条件，复数域上多项式根的个数，实系数多项式的非实复数根的特征， 实数域上多项式不可约的充要条件；Eisenstein 判别法，求整系数多项式有理根的方法.

2.考核要求

(1) 掌握数域 P 上一元多项式的概念、基本运算和运算律.

(2) 掌握多项式整除的概念和性质，掌握带余除法.

(3) 掌握最大公因式的概念、性质，掌握辗转相除法，掌握多项式互素的概念和性质.

(4) 掌握不可约多项式的概念和性质.

(5) 理解多项式根的概念和性质.

(6) 掌握复数域上多项式不可约的充要条件，掌握复数域上多项式根的个数，掌握实系数多项式的非

实复数根的特征，掌握实数域上多项式不可约的充要条件．

(7) 理解有理数域上多项式与整系数多项式的关系，掌握求整系数多项式有理根的方法，掌握 Eisenstein 判别法.

二、行列式

1.知识要点

排列及其逆序数，排列的奇偶性，行列式的概念，行列式的性质，余子式和代数余子式，行列式按一 行 (列) 展开定理，Vandermonde 行列式，克拉默 (Cramer) 法则。

2.考核要求

(1) 掌握排列的概念，掌握排列逆序数的概念和求法，理解排列的奇偶性.

(2) 理解行列式的定义.

(3) 掌握行列式的性质，掌握行列式按一行 (列) 展开定理.

(4) 会计算具体行列式的值，会计算简单n 阶行列式的值，理解Vandermonde 行列式．

(5) 了解克拉默法则．

三、线性方程组

1.知识要点

矩阵的概念，矩阵的初等变换，矩阵的秩；用消元法解线性方程组；线性方程组有解的判定定理；齐 次线性方程组基础解系的概念和求法，线性方程组解的结构．

2.考核要求

(1) 理解矩阵的概念．

(2) 掌握矩阵的初等变换，理解矩阵秩的概念，掌握求矩阵秩的方法.

(3) 掌握消元法解线性方程组.

(4) 理解线性方程组有解的判定定理.

(5) 掌握齐次线性方程组基础解系的概念及求法.

(6) 了解线性方程组解的结构.

四、矩阵

1.知识要点

矩阵的基本运算和运算律；可逆矩阵和逆矩阵的概念和性质，矩阵可逆的充要条件，伴随矩阵的概念， 矩阵与其伴随矩阵的关系，求逆矩阵的方法；n 阶矩阵乘积的行列式．

2.考核要求

(1) 掌握矩阵的基本运算和运算律，理解对称矩阵反对称矩阵的概念.

(2) 掌握可逆矩阵和逆矩阵的概念和性质，掌握矩阵可逆的充要条件，

(3) 理解伴随矩阵的概念，掌握矩阵与其伴随矩阵的关系．

(4) 掌握求逆矩阵的方法.

(5) 会解简单矩阵方程.

(6) 掌握矩阵乘积的行列式.

五、二次型

1.知识要点

二次型的定义，二次型的矩阵表示；矩阵的合同，矩阵的合同变换；二次型的标准形，复数域上和实 数域上二次型化成典范形，惯性指数；正定二次型，正定矩阵．

2．考核范围

(1) 理解二次型的概念，会写出二次型的矩阵.

(2) 理解矩阵的合同概念及性质，掌握矩阵的合同变换.

(3) 掌握利用矩阵的合同变换求可逆变量替换，把二次型化成标准形．

(4) 掌握利用矩阵的合同变换求可逆变量替换，把复数域上和实数域上二次型化成典范形，理解惯性指数的概念．

(5) 掌握正定二次型、正定矩阵的概念，掌握矩阵是正定矩阵的充要条件.

(6) 掌握求正交变量替换化二次型为标准形的方法.

六、线性空间

1．知识要点

线性空间的定义，向量的运算及其性质 (运算律)； 向量的线性组合、线性相关与线性无关及其主要性质，向量组的极大线性无关组，向量组的秩；行向量和列向量，线性空间的基和维数，向量坐标的概念； 线性子空间的定义，线性空间的子集是子空间的充要条件，向量组生成子空间的定义，子空间的交、子空 间的和．

2．考核范围

(1) 了解线性空间的定义；掌握向量的运算及其性质 (运算律)．

(2) 掌握向量的线性组合、线性相关与线性无关及其主要性质，掌握向量组的极大线性无关组的概念，理解向量组秩的概念．

(3) 理解行向量和列向量的含义，掌握行向量组的秩和列向量组的秩的求法．

(4) 理解线性空间的基和维数．

(5) 理解向量坐标的概念．

(6) 了解线性子空间的定义，掌握线性空间的子集是子空间的充要条件；理解向量组生成子空间的定义；理解子空间的交、子空间的和．

七、线性变换

1.知识要点

线性变换的概念、性质、运算和运算律；线性变换与矩阵的关系，矩阵的相似；矩阵的特征值和特征 向量的概念和求法，线性变换的特征值和特征向量的概念和求法；矩阵和线性变换对角化的定义、条件和 方法.

2．考核范围

(1) 掌握线性变换的概念、性质、运算和运算律.

(2) 理解线性变换与矩阵的关系.

(3) 理解矩阵相似的概念及性质.

(4) 掌握矩阵的特征值，特征向量的概念和求法，掌握线性变换的特征值，特征向量的概念和求法.

(5) 掌握矩阵和线性变换对角化的定义、条件和方法.

八、欧氏空间

1.知识要点

欧氏空间的概念，向量内积的性质； 向量长度、单位向量、向量夹角、向量正交的概念，正交向量组 和标准正交基的概念，施密特正交化方法，正交矩阵；正交变换的概念和性质；实对称矩阵的性质，实对 称矩阵的正交对角化．

2．考核范围

(1) 掌握欧氏空间的概念，掌握向量内积的性质；掌握向量长度、单位向量、向量夹角、向量正交的 概念．

(2) 掌握正交向量组和标准正交基的概念，了解施密特正交化方法；掌握正交矩阵的概念和性质.

(3) 掌握正交变换的概念和性质．

(4) 掌握实对称矩阵的性质，掌握实对称矩阵的正交对角化方法.