2023年河北专升本数学分析考试大纲

I.课程简介

一、内容概述与要求

数学分析是数学与应用数学专业的一门重要专业基础课程，掌握数学分析的基本理论体系及思想方法 对进一步学习和研究具有重要意义。考生应理解《数学分析》 中实数的完备性定理；掌握函数、极限、连 续、一元函数微积分学、多元函数微积分学、数项级数及函数项级数等相关章节的基本概念与基本理论， 掌握上述各部分的基本方法；注意各部分知识结构及知识的内在联系。考生应具有一定的抽象思维能力、 逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力；能运用基本概念、基本理论和基本方法正确推理地证明，准确 简捷地计算；能运用所学知识分析并解决简单的实际问题。考试从三个层次上对考生进行测试，较高层次 的要求为“理解”和“掌握”，较低层级的要求为“了解” 。这里“理解”和“了解”两词分别是对概念、 理论的高层次与低层次要求。“掌握”是对方法、运算的高层次要求。本说明下列用语的含义： 了解是指 清楚地知道，理解是指懂得涵义、特征以及与相关理论的关系，运用是指用以解决基本问题，掌握是指理 解并能运用。

二、考试形式与试卷结构

考试形式：采用闭卷、笔试形式，全卷满分为 300 分，考试时间为 150 分钟。

试卷结构：试卷包括选择题、填空题、判断题、计算题、证明题和应用题。选择题是四选一型的单项 选择题；填空题只要求直接填写结果，不必写出计算过程或推证过程；计算题、证明题均应写出文字说明、 演算步骤或推证过程。

试卷中《数学分析》、《高等代数》与《解析几何》试题的分值比例约为 150:110:40

II.知识要点与考核要求

一、实数集与函数

( 一) 知识要点

1.邻域、去心邻域、左邻域、右邻域的概念.

2.有界数集的定义，数集的上确界、下确界的定义，确界原理.

3.函数、反函数及复合函数的概念，函数的单调性、有界性、周期性、奇偶性，基本初等函数、初等 函数的概念.

(二) 考核要求

了解内容

1.实数的无限小数表示法.

理解内容

1.区间与邻域的概念，有界集及确界概念.

2.函数及复合函数、反函数、初等函数的概念.

掌握内容

1.数集上确界、下确界的定义，确界原理.

2.求函数的定义域.

3.函数的简单性质 (有界性、单调性、奇偶性、周期性) ，基本初等函数的性质. 

4.将一个复合函数分解为基本初等函数或简单函数的复合的方法.

二、数列极限

( 一) 知识要点

1.数列极限的定义.

2.收敛数列性质，极限的四则运算法则，数列的敛散性与其子列敛散性的关系.

3.迫敛性定理，单调有界原理，数列的柯西收敛准则.

(二) 考核要求

了解内容

1.极限的历史.

理解内容

1.极限的概念.

2.极限的思想.

3.柯西准则

掌握内容

1.用数列极限的

2.用数列极限的定义及收敛数列的性质进行相关结论的证明.

3.用四则运算法则、迫敛性定理、单调有界定理证明数列收敛并求极限.

4.用数列极限与其子数列极限之间的关系证明数列发散.

三、函数极限

( 一) 知识要点

1. 自变量各种趋势下函数极限的精确定义.

2.左极限、右极限与极限的关系.

3.函数极限的性质，函数极限的四则运算法则.

4.归结原则，柯西准则.

5.两个重要极限.

6.无穷小量的定义及性质，无穷小量阶的比较，用等价无穷小代换求极限.

7.无穷大量的定义，无穷大量与无穷小量的关系.

8.曲线的水平渐近线、垂直渐近线、斜渐近线.

(二) 考核要求

了解内容

1.极限的几何意义.

理解内容

1.无穷大、无穷小以及无穷小的阶的概念，无穷小的性质，无穷小量阶的比较，无穷小量与无穷大量 的关系.

2.曲线渐近线的几何意义，渐近线的求法.

3.归结原理，柯西准则.

掌握内容

1.函数极限的精确定义，左极限、右极限与极限的关系.

2.用函数极限的性质证明与函数极限相关的结论.

3.用极限四则运算法则求极限.

4.用两个重要极限求极限.

5.用等价无穷小求极限.

四、函数的连续性

( 一) 知识要点

1.函数在一点连续的定义，左连续、右连续与连续的关系.

2.函数的间断点及其分类.

3.连续函数的运算与初等函数的连续性.

4.函数在某点连续的局部性质，闭区间上连续函数的性质 (有界性定理、最值定理、介值定理及零点 存在定理) .

5.函数 f(x) 在区间I上一致连续的定义，一致连续性定理.

(二) 考核要求

了解内容

1.黎曼函数的定义及其性质.

理解内容

1.函数在一点连续与间断的概念.

2.反函数的连续性.

3.函数在一点连续的局部性质.

4.一致连续的定义，一致连续性定理.

掌握内容

1.判断简单函数 (含分段函数) 在一点的连续性质.

2.求函数的间断点，确定间断点的类型.

3.初等函数在其定义区间上连续性.

4.运用闭区间上连续函数的性质(有界性定理、最大最小值定理、介值定理、零点定理)推证一些简单 命题.

五、导数与微分

( 一) 知识要点

1.导数的概念，导数的几何意义与物理意义.

2.函数的可导性与连续性的关系.

3.导数的基本公式，求导的四则运算法则，复合函数的求导法则.

4.高阶导数的概念及求法.

5.参变量函数的一阶导数和二阶导数的求法.

6.微分的定义，微分的几何意义，微分与导数的关系，微分法则，一阶微分形式不变性.

(二) 考核要求

了解内容

1.微分的几何意义.

2.用微分做近似计算和误差估计.

理解内容

1.函数的微分概念.

2.一阶微分形式不变性.

3.反函数的求导法则.

掌握内容

1.导数、左导数、右导数的概念，判断函数在某点的可导性，用导数定义求导数. 

2.函数的可导性与连续性之间的关系.

3.导数的几何意义和物理意义，求曲线上一点处的切线方程与法线方程.      

4.用导数基本公式、导数的四则运算法则、复合函数的求导法则求函数的导数. 

5.微分与导数的关系，微分运算法则, 求初等函数的微分.                   

6.高阶导数的概念，求初等函数的高阶导数.                               

7.求参变量函数的一阶、二阶导数.

六、微分中值定理及其应用

( 一) 知识要点

1.罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理，泰勒公式.

2.判定函数单调性，求函数的极值，求函数的最值.

3.判定曲线凹凸性，求曲线的拐点.

4.洛必达法则，求不定式的极限.

5.函数图像的讨论.

(二) 考核要求

了解内容

1.导数极限定理.

2.导函数的介值定理.

理解内容

1.函数极值的概念.

2.罗尔定理、拉格朗日中值定理及其几何意义，柯西中值定理.

3.泰勒中值定理，泰勒公式.

4.描绘简单函数的图形.

掌握内容

1.用罗尔定理、拉格朗日中值定理证明简单的不等式和证明方程根的存在性.                 

2.用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间，利用函数的增减性证明简单的不等式. 

3.用二阶导数判定曲线的凹凸性，求曲线的凹凸区间及拐点.

4.求函数的极值与最值.

5.求各种不定式极限.

6.解决简单的最大 (小) 值的应用问题.

七、实数的完备性

( 一) 知识要点

1.闭区间套定理.

2.聚点的定义及聚点定理.

3.有限覆盖定理.

(二) 考核要求

了解内容

1.实数完备性基本定理的等价性.

理解内容

1.集合的开覆盖、有限开覆盖的概念，有限覆盖定理.

掌握内容

1.区间套定理.

2.找出集合的聚点，聚点定理.

八、不定积分

( 一) 知识要点

1.原函数与不定积分的概念，原函数存在定理.

2.不定积分的基本积分公式.

3.不定积分的线性运算法则.

4.不定积分的第一换元积分法、第二换元积分法、分部积分法.

5.有理函数的积分法，简单无理函数及三角函数有理式的积分法.

(二) 考核要求

了解内容

1.不定积分的几何意义.

理解内容

1.原函数与不定积分的概念.

2.求有理函数的不定积分，求三角函数有理式及简单无理函数的不定积分.

掌握内容

1.不定积分的基本公式.

2.不定积分的线性运算法则.

3.用第一换元积分法、第二换元积分法、分部积分法求不定积分.

九、定积分

( 一) 知识要点

1.定积分的概念及其几何意义.

2.定积分的性质.

3.积分第一中值定理.

4.变上限定积分，原函数存在定理.

5.可积函数类.

6.牛顿—莱布尼兹公式，定积分的换元法、分部积分法.

(二) 考核要求

了解内容

1.第一积分中值定理的推广形式，第二积分中值定理.

理解内容

1.定积分的概念与几何意义.

2.可积的必要条件.

3.三类可积函数.

掌握内容

1.定积分的性质.

2.变上限积分，原函数存在定理，变上限函数的导数.

3.用牛顿—莱布尼兹公式，定积分的换元法和分部积分法计算定积分.

4.证明一些简单的积分恒等式.

十、定积分的应用

( 一) 知识要点

1.平面图形的面积.

2.曲线的弧长.

3.平行截面面积为已知的立体体积、旋转体的体积.

4.旋转曲面的面积.

5.用定积分求物理量.

(二) 考核要求

了解内容

1.曲率、曲率圆、曲率半径、 曲率中心等概念.

理解内容

1.微元法的思想.

掌握内容

1.求平面图形的面积.

2.求平面曲线的弧长.

3.求平行截面面积为已知的立体体积，简单的封闭平面图形绕坐标轴旋转所成旋转体的体积. 

4.求平面曲线绕坐标轴旋转所成旋转面的面积.

5.求变力所作的功 (质点沿直线运动) .

十一、反常积分

( 一) 知识要点

1.无穷积分的定义、性质及敛散性的判别.

2.瑕积分的定义、性质及敛散性的判别.

(二) 考核要求

了解内容

1.两类反常积分的几何意义.

2.两类反常积分的狄利克雷判别法与阿贝尔判别法.

3.用柯西准则判定两类反常积分的收敛性.

理解内容

1.两类反常积分收敛、发散的概念；两类反常积分条件收敛和绝对收敛的概念.

2.用比较原则，比较原则的极限形式，柯西判别法，柯西判别法的极限形式判定两类非负函数反常积 分的敛散性.

掌握内容

1.根据定义判定反常积分的敛散性，求收敛的反常积分的值.

十二、数项级数

( 一) 知识要点

1.级数的概念，级数收敛和发散的定义.

2.级数的基本性质，级数收敛的必要条件.

3.级数收敛的柯西准则.

4.正项级数敛散性的判别法 (比较判别法、比式判别法及其极限形式、根式判别法及其极限形式、积 分判别法.)

5.交错级数及其莱布尼兹判别法.

6.级数绝对收敛与条件收敛的定义及判别.

7.一般项级数的阿贝尔判别法和狄利克雷判别法.

(二) 考核要求

了解内容

1.阿贝尔判别法和狄利克雷判别法.

2.绝对收敛级数的性质.

理解内容

1.级数收敛、发散的概念.

2.正项级数敛散性的积分判别法.

3.用柯西准则判别级数的敛散性.

掌握内容

1.用定义判别级数的敛散性，求收敛级数的和.

2.用级数收敛的必要条件判别级数发散.

3.几何级数的敛散性， p 级数的敛散性.

4.用级数的基本性质判别级数的敛散性.                                                  

5.用比较判别法、比式判别法及其极限形式、根式判别法及其极限形式判别正项级数的敛散性.

6.用莱布尼兹判别法判别交错级数收敛.

7.判别级数条件收敛和绝对收敛.

十三、函数列与函数项级数

( 一) 知识要点

1.函数项级数的一致收敛的优级数判别法.

2.一致收敛的函数列与函数项级数的性质.

(二) 考核要求

了解内容

1.函数列一致收敛的柯西准则.

2.函数项级数一致收敛的柯西准则.

理解内容

1.函数列及函数项级数一致收敛的定义.

2.函数列一致收敛与函数项级数一致收敛之间的关系.

掌握内容

1.函数项级数一致敛的优级数判别法.

2.一致收敛函数列的极限函数的连续性、可积性、可微性.

3.一致收敛函数项级数的和函数的连续性、逐项积分、逐项求导.

十四、幂级数

( 一) 知识要点

1.幂级数的概念，幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域.

2.幂级数的基本性质.

3.将初等函数展开为幂级数.

(二) 考核要求

了解内容

1.幂级数的概念.

2.泰勒级数的定义.

理解内容

1.两个幂级数和与差的收敛半径.

掌握内容

1.求幂级数的收敛半径、收敛域的方法 (包括判断端点处的收敛性) .                 

2.幂级数在其收敛区间内的基本性质 (连续性、逐项求导及逐项积分) .              

3.用基本初等函数的马克劳林展开式将一些简单的初等函数展开为 x 或x-a 的幂级数.

十五、多元函数的极限与连续

( 一) 知识要点

1.二元函数的几何意义，二元或三元函数的定义域.

2.二元函数极限的概念.

3.二元函数连续的概念.

(二) 考核要求

了解内容

1.多元函数的概念，二元函数的几何意义.

2.有界闭域上连续函数的性质.

理解内容

1.二元函数的概念.

2.二元函数的二重极限与累次极限的定义及之间的关系.

掌握内容

1.二元函数连续的概念.

2.求二元或三元函数的定义域.

3.求较简单的二元函数的极限.

十六、多元函数微分学

( 一) 知识要点

1.偏导数、全微分、高阶偏导数，函数可微的充分条件与必要条件.

2.求复合函数偏导数的链式法则.

3.方向导数和梯度.

4.二元函数的极值.

(二) 考核要求

了解内容

1.全微分的概念.

理解内容

1.偏导数及高阶偏导数的概念.

2.二元函数偏导数的几何意义.

3.方向导数和梯度.

掌握内容

1.函数可微的充分条件与必要条件.

2.求复合函数的偏导数 (含抽象函数) 及全微分.

3.求初等函数的高阶偏导数.

4.求二元函数的极值.

十七、隐函数定理及其应用

( 一) 知识要点

1.隐函数的偏导数

2.平面曲线的切线与法线，空间曲线的切线与法平面.

3.曲面的切平面与法线.

4.求多元函数极值的 Lagrange 乘数法.

(二) 考核要求

了解内容

1.隐函数定理.

理解内容

1.隐函数的概念.

掌握内容

1.由方程 f(x, y, z) = 0  所确定的隐函数 z = f (x, y) 的一阶偏导数的计算方法.

2.求平面曲线的切线方程与法线方程，空间曲线的切线方程与法平面方程.      

3.求曲面的切平面方程与法线方程.

4.应用 Lagrange 乘数法求解一些最大值、最小值问题.

十八、含参变量积分

( 一) 知识要点

1.含参量积分的连续性、可微性、可积性.

2.含参变量反常积分一致收敛的维尔斯特拉斯 M 判别法.

(二) 考核要求

了解内容

1.含参变量反常积分一致收敛的判别方法.

2.含参变量反常积分的连续性、可微性、可积性.

理解内容

1.含参量积分的概念.

2.含参变量反常积分一致收敛的概念.用维尔斯特拉斯 M 判别法判别含参变量反常积分一致收敛.

掌握内容

1.用含参量积分的连续性求定积分的极限.

2.用交换积分顺序的方法求定积分.

十九、曲线积分

( 一) 知识要点

1.两类曲线积分性质.

2.两类曲线积分计算.

(二) 考核要求

了解内容

两类曲线积分之间的关系.

理解内容

1.两类曲线积分的概念.

2.两类曲线积分的性质.

掌握内容

1.第一型曲线积分的计算.

2.第二型曲线积分的计算.

二十、重积分

( 一) 知识要点

1.二重积分的概念及性质.

2.二重积分的计算.

3.二重积分的应用.

4.格林公式，曲线积分与路径无关的条件.

(二) 考核要求

了解内容

1.二重积分的概念.

理解内容

1.二重积分的性质

掌握内容

1.直角坐标系下计算二重积分，选择积分次序与交换积分次序.

2.用极坐标变换计算二重积分.

3.用二重积分解决简单的应用问题 (限于空间曲面所围成的体积、 曲面的面积、平面薄板质量) . 

4.格林 (Green) 公式，曲线积分与路径无关的条件，并应用于曲线积分的计算中.