​2021年湖北专升本荆楚理工学院《数学分析》科目考试大纲

一、考试性质

“专升本”《数学分析》考试是为选拔专科应届优秀毕业生进入本科学习，在了解数学分析中的基本概念、理论、方法的实际来源和历史背景，清楚它们的几何意义和物理意义，初步具备应用数学分析解决实际问题能力上的必要基础考试，以尽快适应本科学习对数学应用的知识和技能要求。

二、考试目的

本次考试的目的主要是测试考生在严格的数学论证能力、举反例能力和基本计算能力方面是否具有本科学习的能力。

三、考试内容

根据《数学分析》课程大纲的要求，特制定本课程考试内容。

1. 极限和连续

a.熟练掌握数列极限与函数极限的概念，包括数列的上、下极限和函数的左、右极限。

b.掌握极限的性质及四则运算性质，特别要能够熟练运用两面夹原理和两个特殊极限。

c.了解实数系的基本定理：区间套定理，确界存在定理，单调有界原理，Bolzano-Weierstrass定理，Heine-Borel有限覆盖定理，Cauchy收敛准则。

d.熟练掌握函数连续性的概念及相关的不连续点类型。能够运用函数连续的四则运算与复合运算性质以及相对应的无穷小量的性质;并理解两者的相互关系。

e.掌握闭区间上连续函数的性质：有界性定理、最值定理、介值定理和一致连续定理。

2.一元函数微分学

a.熟练掌握导数和微分的概念及其相互关系，导数的几何意义和物理意义，函数可导性与连续性之间的关系。

b.熟练掌握函数与隐函数导数与微分的运算法则，包括高阶导数的运算法则，会求分段函数的导数。

c.掌握Rolle中值定理，Lagrange中值定理和Cauchy中值定理以及Taylor公式。

d.熟练掌握用导数研究函数的单调性、极值，最值和凸凹性。

e.熟练掌握用L’Hospital法则求不定式极限的方法。

3.一元函数积分学

a.熟练掌握不定积分的概念。熟练掌握不定积分的基本公式，换元积分法和分部积分法，会求有理函数、三角有理函数和简单无理函数的积分。

b.熟练掌握定积分的概念，了解Darboux和，上、下积分及可积条件与可积函数类。

c.熟练掌握定积分的性质，熟练掌握微积分基本定理，定积分的换元积分法和分部积分法。

d.熟练掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量(平面图形的面积，平面贡线的弧长，旋转体的体积与侧面积，平行截面面积已知的立体体积，变力做功和物体的质量与质心)。

e.熟练掌握广义积分的概念。熟练掌握判断广义积分收敛的比较判别法，掌握Abel判别法和Dirichlet判别法。

4.无穷级数

a.熟练掌握数项级数敛散性的概念，掌握数项级数的基本性质。

b.熟练掌握正项级数敛散的必要条件，比较判别法，比式和根式判别法，积分判别法。

c.熟练掌握任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念及其相互关系。熟练掌握交错级数的Leibnitz判别法。掌握绝对收敛级数的性质。

d.掌握函数项级数一致收敛性的概念以及判断一致收敛性的Weierstrass判别法。了解Abel判别法和Dirichlet判别法。了解一致收敛级数的性质。

e.熟练掌握幂级数及其收敛半径收敛域的概念。

f.掌握幂级数的性质。能够求幂级数的和函数，能够将函数展开为幂级数。

g.能够将函数展开为Fourier级数。了解Fourier级数的概念与性质。

5.多元函数微分学与积分学

a.熟练掌握多元函数极限与连续性，偏导数和全微分的概念，多元函数的偏导数与全微分。

b.掌握隐函数存在定理。

c.熟练掌握多元函数极值和无条件极值，偏导数的几何应用。

d.掌握重积分、曲线积分和曲面积分的概念与计算。

e.熟练掌握Gauss公式、Green公式及其应用。

四、考试形式及时间

1.考试方式：笔试、闭卷

2.考试时间：90分钟

3.总 分：150分

五、教学参考书

[1] 华东师范大学数学系.数学分析【M】.高等教育出版社.2014年第4版。